《我的哲学的发展》第26章

在《数学原理》的第二版中（１９２５）
，我考虑了维根斯坦的一些学说。
我在一篇新的《导言》里采用了外延性原理，并且在《附录》里考虑了对这个原理显然可非议之处，就全体来说，我断定这些非议是无效的。在这个新版中，我的主要目的是减少《可化归性公理》的使用。如果我们一方面要避免矛盾，另一方面保存平常认为无可争议的所有数学，这个公理（等一会儿我就要加以说明）好象是必需的。但是它是一个可议的公理，因为其为真是可以怀疑的，并且更重要的
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是因为，如其为真，其为真是属于经验的，不是属于逻辑的。
怀特海和我认识到，这个公理是我们的系统的一个弱点，但是我至少认为它有类乎平行公理，这个平行公理一向被认为是欧几理德几何学的一个弱点。我认为迟早会找出一种方法把这个公理废除掉，同时把难点集中在一点上是一件好事。
在第二版的《数学原理》里，在许多情形中（这个公理原先看来好象是少不了的）
，特别是在所有数学归纳法的使用中，我成功地把这个公理废除了。
我现在必须说明这个公理是说什么，以及为什么它好象是不可缺的。我在前面已经说明过属于一些性质总体的性质和不属于性质总体的性质之间的差异。属于性质总体的性质往往引起麻烦。举例来说，假定你提出来这样的一个定义：“一个典型的英国人就是一个具有多数英国人所具有的性质的人”。
你就会很容易认识到，多数英国人并不具有多数英国人所具有的一切性质。所以，按照你的定义来说，一个典型。。
的英国人就是不典型。麻烦之发生是因为，“典型”这个字的界说是指一切性质。然后其本身被当做是一种性质。因此似乎是，如果正当来说“一切性质”
，你的意思不能是真指“一切性质”
，而只是指“不属于性质总体的一切性质”。正象我在前面说明的那样，我们把这样的性质说成是“断言的”。可化归性公理是说，一个不是断言的性质永远在形式上等于某个断言的性质。
（如果两个性质属于同一组东西，或者说得更确切一些，如果它们的真伪价值对每个主目来说都是一样，这两个性质在形式上就是相等的。）
在第一版的《数学原理》中我们把接受这个公理的理由
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说明如下：“可化归性原理是自明的，这是一个难以让人支持的命题。但是，事实上，自明不过是接受一个公理的理由的一部分，绝不是必不可少的。接受一个公理的理由，正和接受任何别的命题一样，永远大部分是归纳性的，也就是说，许多几乎无可怀疑的命题可以从这个公理推演出来，没有同样讲得通的办法使这些命题可以为真，如果这个公理为伪，而且无任何可能是伪的东西能从它推演出来。如果这个公理表面看来是自明的，实际上那就是说，它几乎是无可怀疑的；因为有些东西原被认为是自明的，可是后来知道是伪的。如果这个公理本身几乎是无可怀疑的，那只增加了归纳证据，这种证据是从其结果几乎是无可怀疑这个事实来的，它并不能提供迥然不同的新证据。绝对正确是永远达不到的，所以每个公理和其所有结果总要有若干可疑成分。在形式逻辑里比多数科学里可疑成分为少，但是并不是没有。这从这件事就可以看出来：悖论是来自一些原来不知道需要加以限定的前提。
就可化归性公理来说，对它有利的归纳证据是很强的，因为它所容许的推理和从它引出来的结果都显然是有效的。但是，虽然这个公理竟然为伪象是很不可能，但是绝不是不可能居然发现它是从另外某一个更基本、更明显的公理推演出来的。很可能，使用循环论法原理（这种原理体现在前面讲过的层型中）是使用得过猛了，若是使用得不那么猛，这个公理的必要性也许就可以避免了。可是，这类变动并不使根据前面说明过的原理所断定的任何东西为伪，这类变动只不过为这些同一定理提供更容易得到的证据。因此，好象没有什么根据害怕使用可化归性公理会使我们有错误“
（《导言》，
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第Ⅱ章，第Ⅶ节）。
在第二版里我们说：“显然应该改进的一点是可化归性公理。这个公理只有一个纯乎是实用的理由作为根据：它导致所想望的结果，而无其他结果。但是它不是我们能满意的那类公理。但是，关于这一个问题，还不能说可以得到一个满意的解决。雷昂。崔斯泰克毅然把这个公理废除，而不采取任何代替的东西。从他的研究来看，很清楚，他的这种办法使我们不得不牺牲大量的普通数学。还有一个办法（由于哲学上的理由为维根斯坦所推荐）
，就是假定命题的函项永远是真伪函项，并且一个函项只能通过它的值出现在一个命题中。
象这种看法是有难点的，但是这些难点也许不是不能克服的。
这种看法会有这样的结果，就是，函项的所有函项都是外延性的。它需要我们主张“Ａ相信ｐ”不是ｐ的一个函项。在《逻辑哲学论》里（同上所引处，及第１９至２１页）证明这如何是可能的。我们不准备断定这个学说确是正确的，但是在以下的篇幅中把它的结果弄出来，看来是值得的。看来第一卷中的一切仍然是正确的（虽然常常需要新的证明）
；归纳基数和序数的学说继续存在；但是无限戴地钦德和良序级数的学说大部分是垮台了，所以无理数和一般的实数再也不能得到适当的解决。
而且坎特的２ｎ＞ｎ这个证明也瓦解了，除非ｎ是有限的。也许还有一个什么别的不象可化归性公理那么不满人意的公理会产生这些结果，但是我们还找不出这样的一个公理来（《导言》，第ＸＩＶ页）。
《数学原理》第二版出版不久之后，Ｆ。
Ｐ。
莱穆塞在两篇很重要的文章里捡起化归性公理这个问题来，一是《数学的
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基础》，发表于一九二五年，还有《数理逻辑》，发表于一九二六年。不幸，莱穆塞的早亡使他的意见不能充分发展。但是他已有的成绩是很重要的，值得认真考虑。他的主要论点是，必须使数学成为纯然是外延性的，《数学原理》的麻烦是起自非法侵入了内包的观点。怀特海和我主张，一个类只能用一个命题函项来规定，这甚至可以用于好象为枚举所规定的那些类。举例来说，由ａ、ｂ和ｃ三个个体而成的这个类是被“ｘ＝ａ或ｘ＝ｂ或ｘ＝ｃ”这个命题函项所规定。维根斯坦拒绝等同（莱穆塞对此加以承认）
使这个方法成为不可能，但是，从另一方面来说，莱穆塞认为，对于用枚举来给一个无限的类下定义，并没有逻辑上的异议。我们不能这样来给一。。。。
个无限的类下定义，因为我们总是要死的，但是我们不免于死是一件经验上的事，这件经验上的事逻辑学家们是应该置之不顾的。
他认为，根据这一点，乘法公理是一个重言式。
例如，再回头讲那个有无限双袜子的百万富翁。
莱穆塞主张，没有必要定一个规则从每双袜子里挑一只。他认为，就逻辑来。。
说，一个无限数目的任意选择是和一个有限数目的选择一样可以容许的。
他把一个类似的观点应用于改变命题函项这个概念。怀特海和我认为一个命题函项是含有一个未定变项的一个表达法，一旦给这个变项指定一个值，就变成一个普通的句子。
例如“ｘ是有人性的”
，一旦我们用一个专名来代替“ｘ”
，就变成一个普通的句子。这样来看命题函项们，它们是由内包而成（关于变项或变项们除外）。
“是有人性的”这些字形成许多普通句子的一部分，命题函项是造若干这类句子的一个方
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法。函项的值因变项的不同的值而确定，变项由于语句内在的特性而有不同的值，莱穆塞关于命题函项的想法颇为不同。
他把命题函项只看做是使命题和变项的值有相互关系的一种方法。除了以前下过定