《人类的知识》第99章

然后再把它和主观必然性，最后把它和合理的行为联系起来加以讨论。
B。　可信性与频率
我现在要讨论这个问题：如果已知某个ψχ、那么在什么外界条件下从
ψχ的频率中得出一个命题a　的可信性？换句话说，如果“ψχ”是“a　是
一个a”，那么在什么外界条件下从一个或更多个具有“a　的分子中有W/n　是
β。。　的分子”形式的命题中得出“a　是一个β”的可信性？我们将发现，这
个问题并不象我们应当问的那个问题那样具有普遍性，但是我们首先讨论它
还是可取的。
常识似乎明确地认为：在数学概率的典型例证中，它就等于可信度。如
果我从一副纸牌中随便取出一张纸牌，那么“纸牌是红的”的可信度恰好等
于“纸牌不是红的”的可信度，因而每一种的可信度都是1/2，如果1　代表
必然性的话。就一个骰子来说，“最上方是1”的可信度恰好等于“最上方
是2　或3，4，5，6”的可信度。因此我们可以把数学的慨率论中所有推导出
来的频率都解释为推导出来的可信度。
在把数学的概率翻译成可信度的这个过程中，我们使用了一个数学的概
率论并不需要的原理。数学的概率论只是计算各种情况；但是在这个翻译过
程中我们却必须认识到或者假定每一种情况都是同样可信的。这个原理的必
要性很久以来就已经被人认识到；人们把它叫作不充足理由原理，或者（按
照凯恩斯的说法）无差别原理。我们曾经把这个原理和凯恩斯联系在一起加
以研究，但是现在我们却必须单独来研究它。在对它进行讨论之前，我愿意
指出这个原理在数学的概率论中并不是必要的。在这种理论中，我们只需要
知道各种不同的类的数目。只有在我们把数学的概率当作可信性的尺度时我
们才需要这个原理。
我们所需要的原理大致如下：“已知一个客体a，关于它我们想知道‘a
是一个β’这个命题具有多大的可信度，并且已知我们仅有的有关知识是‘a
是一个a’，那么‘a　是一个β’的可信度就是由a　和β共有的分子数与a
的分子数之比所确定的数学概率”。
让我们再一次举一个说过的实例来说明这一点，那就是美国身材最高的
人居住在衣阿华州的机会。这里我们一方面有一个描述d，我们知道它适用
于A1，A2，。。An　有姓名的人当中的一个并且仅仅一个，其中n　是美国的居
民数。这就是说，我们知道在“d＝Ar”那些命题中有一个并且仅仅一个（这
里r　是从1　到n　的数）为真，但是我们不知道是哪一个。如果这真是我们的
全部有关知识，我们就认为“d＝Ar”这些命题中任何一个都和任何另外一个
同样可信。在这种情况下，每个命题都具有1/n　的可信性。如果衣阿华州有
m　个居民，“d　居住在衣阿华州”这个命题的意义就等于“d＝Ar”这些命题
中m　个命题的一个析取命题，因而为它们当中任何一个命题的可信性的m　倍，
因为它们是互相排斥的。所以它具有一个由m/n　来确定的可信度。
当然在上面的实例中“d＝Ar”这些命题并不都属于同一等级。证据可以
使我们把儿童和矮子，多半还把妇女除外。这就表明这个原理可能难以应用，
但是并不表明它为伪。
从一副纸牌中抽取一张纸牌的情况更接近于实现这个原理所要求的条
件。这里“d”这个描述是“我要抽出的那张纸牌”。52　张纸牌都具有可以
被我们当作名字的东西：黑桃2　等等。这样我们就有52　个“d＝Ar”命题，
其中有一个并且只有一个为真，但是我们却没有任何使我们选择一个而不选
择另一个命题的证据。所以每一个命题的可信性是1/52。如果我们承认这一
点，那么它就把可信性和数学的概率联系起来。
因此我们可以提出下面的公理，作为“无差别原理”的一种可能的形式：
“已知一个描述d，关于它我们知道它适用于a1，a2，。。an　等客体中
的一个并且仅仅一个，并且已知我们不知道任何有关这个描述适用于这些客
体中哪一个的问题的知识，那么n　个‘d＝ar’（1≤r≥n）的命题就都是同
样可信的，因而每个命题都有1/n　大小的可信性”。
这个公理比起一般所说的不充足理由原理来范围要狭小一些。我们必须
研究它是否充分，还要研究我们是否有理由来相信它。
让我们首先把上面的公理与上一章所讨论的凯恩斯的无差别原理比较一
下。我们记得他的原理是：相对于已知证据来说，p　和q　的概率是相等的，
如果（1）这个证据关于p　和q　是对称的，（2）p　和q　是“不可分的”，即p
和q　都不是具有与它本身形式相同的命题387　的析取命题。我们认为这种说
法可以简化如下：我们说必要的条件是p　和q　应当是一个命题函项的值，
比方说p＝j　q＝j　b　j　”不应当包括或；并且如
（　）和（　）；“　b　果这个证据有一（a）　次提到过，比方说以（x）　j　a　式（a）
（　）的形出现，它就一定也包括（），并且反过来说jb（a）　也对，这（a）　里jx一定不再提到或。这个原b
a
理比起前一节所说的那个原理在某种程度上具有更大的一般性：它蕴涵着后
一个原理，但是我却怀疑后一个原理是否蕴涵着它。我们也许可以接受这个
更为一般的原理，并把它重述如下：
y　。其中没有一个提到过或，或者如
“已知两个命题函项j　和ab　果它们提到过或，提到的方ab（x）　式是（x）　对称的，那么在已知ya和yb的条件
下，ja和jb具有相等的可信性”。
如果我们接受这个原理，它将使我们能够从数学的概率推论出可信性，
并且使得数学概率论的全部命题可以在能够应用数学的概率论的实例上用来
确定可信度。
让我们把上面的原理应用到下面这个实例上来：一个口袋里有n　个球，
我们知道其中每一个球不是白球便是黑球；问题是：有x　个白球的概率是多
少？拉普拉斯认为x　从0　到n　的每个值都具有相同的可能性，所以一个已知
的x　的概率是1/（n＋1）。从纯粹数学的观点看，这是合理的，只要我们从
这个命题函项开始：
x＝白球数。
但是如果我们从这个命题函项开始：
x　是一个白球，
我们就得到完全不同的结果。就这个实例来讲，有许多选择x　个球的方
法。第一个球的选择可以有n　个方法；在选择了第一个球之后，下一个球的
选择可以有n…1　个方法，以此类推。这样选择x　个球的方法是n×（n…1）×（n…2）×。。×（n…x＋1）。这是可以有x　个白球的选择方法数。为了得出
x　个白球的概率，我们必须用选择0，1，2，3　或n　个白球的方法的和去除这
个数。这个和显然是2n。所以恰好得到x　个白球的机会是用2n　去除上面这个
数而得到的。让我们把它叫作“p（n，r）”。
当n　为偶数，x＝1/2n　时，或者当n　为奇数x＝1/2n±1/2　时，这种机会
最大。在x　或n…x　小的时候，如果n　大，那么它的值就很小。从纯粹数学的
观点看，这两个非常不同的结果是同样合理的。但是在我们处理可信度的度
量上，它们之间的差别却很大。让我们有某种不靠颜色来分别这些球的方法；
例如，把它们从一个口袋中陆续取出来，并且让我们把第一个取出来的球叫
作d1，第二个取出来的球叫作d2，以此类推。使“a”代表“白”，
“b”代表“黑”，并且使“ja”代表“d　的颜色是白色”，“jb”代
表“d1的颜色是黑色”。证据是j　或jb为真（1）　，但不能两者都真。这是对
称的，因而根据证据ja和jb具有相（a）　等的可信性；换句话说，“d1　是白球”
和“d1　是黑球”具有相等的可信性。同样的推理也适用于d2，d3，。。dn。
这样，就每个球的情况来说，白和黑的可信度是相等的。因此，象一次简单
的计算所表明的那样，x　个白球的可信度是p（n，x），这里我们假定x　位于
0　和n　之间，并包括0　和n　在内。
我们可以看到在度量可信度上我们假定对于我们的知识来说，数据不仅
为真而且还是全部有关的东西；换句话说，我们假定除了数据中所说的东西
以外，我们就不知道任何有关的知识。所以就一个在特定时间的特定的人来
说，一个特定命题的可信度只有一个正确的值，而在数学的概率论中，对于
许多可能是完全假设