《人类的知识》第90章

是与件：我知道这些口袋装有不同数目的白球和黑球，但从外面看却没有办
法把它们区分开来。我随便挑选了一个口袋，并且一个一个地从中取出m　个
球，取出之后就不再放入。结果它们都是白球。鉴于这个事实，我想知道两
件事：第一，我挑选只有白球的口袋的机会有多少，第二，我下一次拿出的
球是白球的机会有多少？
我们照下面的方法来做。设h　为按上面所说的情况安排好的口袋那件事
实，q　为已经取出m　个球那件事实；并设Pr　为我们已经350　挑中装有r　个白
球的口袋的假设。显然r　必须至少和m　一样大。
如果r　小于m，那么pr/qh=0，并且q/prh＝0。经过一些计算，得出的
结果是我们已经挑中其中都是白球的口袋的机会等于
m　＋　1
o
n　＋　1
我们现在想知道下一次拿出的球是白球的机会是多少。经过进一步的计
算，结果这种机会等于
mm
＋
＋　12
。
注意这个结果是不以n　为转移的，并且如果m　大，它就非常接近1。
在上面的简略叙述中，我并没有把关于归纳问题的论证包括进去，我将
把那些论证推到后一个阶段去讨论。我将首先研究概率的某种解释的适当
性，就这个问题可以与有关归纳的问题分开的限度内进行考察。
第三章有限频率的解释
在本章内我们要研究的问题是关于“概然性”的一种非常简单的解释。
首先我们必须证明这种解释满足第二章的公理，然后再初步考察这种解释可
以在多大范围内囊括“概然性”这个词的通常用法。我将把这种解释叫作“有
限频率说”，以区别于后面我们将要研究的另一种频率说。
有限频率说从下面的定义出发：
设日是任何一个有限集合，而A　是任何一个另外的集合。我们想确定任
意选择的日的一个分子为A　的一个分子的机会，比方说，你在街上遇见的第
一个人名叫斯密土的机会。我们把这种概率定义为B　的分子也是A　的分子的
数除以日的总数的商。我们用A/B　这个符号来表示它。
显然给予这样定义的概率一定是一个有理分数或者就是0　或1。
几个具体的例子就可以让我们看清楚这个定义的意义。一个任意挑选的
小于10　的整数为质数的机会是多少？有9　个整数小于10，其中5　个是质数；
所以机会是5/9。假定你不知道我的生日，那么在我去年生日那天剑桥下雨
的机会是多少？如果剑桥下雨的天数是m，那么机会就是m/365。一个人在伦
敦电话簿里出现为斯密士这个姓的机会是多少？为了解决这个问题，你必须
先数一下在“斯密士”这个姓下面的项目，然后数一下全部项目，并以后面
的数去除前面的数。从一副纸牌里随便抽出的一张纸牌为黑桃的机会是多
少？显然是13/52，即1/4。如果你已经抽出一张黑桃，那么你再抽出一张黑
桃的机会是多少？答案是12/51。一次掷出的两个骰子，数目加起来为8　的
机会是多少？骰子有36　个可能出现的给局，其中有5　个数目加起来为8，所
以机会是5/36。
显然就许多简单例子来说，上面的定义所得的结果符合于概然性的习惯
用法。现在让我们擦究一下给予这样定义的概然性是否满足那些公理。
我们现在必须把公理中出现的字母p，q　和h　当作类或命题函项，而不是
命题。我们不说“h　蕴涵p”，而说“p　包含h”；“p　和q”代表p　和q　两类
的共同部分，而“p　或q”则代表由所有属于p　或q　或者同时属于p　与q　两类
的项目所构成的类。
我们的公理是：
I。p/h　只有一个唯一的值。除了在h　为零，因而p/h=％的情况外，这个
公理为真。因此我们假定h　不为零。
II。p/h　的可能值是所有从0　到1　的实数。照我们的解释，它们将仅是有
理数，除非我们能找到一种方法把我们的定义扩展到无限类。这并不是容易
做到的事，因为当除法涉及到的数目是无限数的时候不能得出唯一的结果。
III。如果h　包含于p；那么p/h=1。在这种情况下，h　与p　的共同部分是h，
所以根据我们的定义就可以得出上面的结果。
IV。　如果h　包含于非p；那么p/h＝O。从我们的定义就可以看出这一点，
因为在这种情况下h　与p　的共同部分是零。
V。合取公理。照我们的解释来讲，h　的分子同时为p　和q（的分子所占的
比例数等于h　的分子同时为p　的分子所占的比例数乘以p　与h　的分子同时为
q　的分子所占的比例数。假定h　的分子数为a；同时属于P　和h　的分子数为b，
而同时属于p；q　和h　的分子数为c。那么h　的分子同时为p　和q　的分子所占
的比例数是c/a；h　的分子同时为p　的分子所占的比例数是b/a；而p　和h　的
分子同时为q　的分子所占的比例数是c/b。这样我们的公理就得到了证实，
因为c/a=b/ax　c/b。
VI。析取公理。如果保留上面所说的a；b；C；的意义，并让d　为h　的分子
同时为p　或q　或者同时属于p　与q　两类的分子数，而e　为h　的分子同时为q
的分子数，那么照我们现在的解释来讲，这个公理就表示：
d　bec
a
=
a
＋
a
…
a；　即d　=　b　＋　e　…c；
这又是很明显的一个结果。
这样，如果h　是一个有分子的有限类，那么这就可以满足我们的公理，
只要不把概率的可能值限为有理分数的话。
由此可以看出数学的概率论照上面的解释来讲是正确的。
可是我们还需要看一下给予这样定义的概率的范围，这种范围初看似乎
过于狭小，不能满足我们对于概率的应用所抱的期望。
首先，我们希望能够说出某个特定事件具有某种特点的机会，而不仅仅
是某一类中某个未经指定的分子所具有的机会。例如：你已经掷出两个骰子，
但是我还不曾看到结果。对我来说，你掷出双六的机会是多少？我们想能够
说出它是1/36，而如果我们的定义不允许我们这样说，它就不能充分满足我
们的要求。在这种情况下，我们说我们把一个事件仅仅当作某一类的一个实
例来看待；153　我们说如果把a　只当作B　类中的一个分子，那么它属于A　类
的机会是A/B。但是“把一个特定事件仅仅当作某一类的一个分子来看”所
表示的意思是不很明确的。这样一种情况所包含的内容是：我们已知一个事
件的某种特点，这种特点凭借比我们所有的更为完备的知识，足以使这个事
件唯一确定下来；但是只凭借我们的知识，我们就没有方法确定它是否属于
A　类，尽管我们确实知道它属于B　类。你在掷出骰子以后知道掷出的结果是
否属于双六这一类，但是我却不知道这一点。我仅有的一点有关的知识是它
是36　个可能的掷出结果之一。或者看一看下面的问题：美国身材最高的人居
住在衣阿华州的机会是多少？有人也许知道他是谁；至少有着一种发现他是
谁的方法。如果使用这种方法成功，那就出现一个不包含概然性在内的确定
答案，即他要么在衣阿华州居住要么不在衣阿华州居住。但是我却没有这种
知识。我可以说衣阿华州的人口为m，而美国人口为n；并且说相对于这些数
据来说，他在衣阿华州居住的概率是M/n。这样当我们说到一个具有某种特
点的特定事件的概率时，我们就总要把借以计算概率的有关数据确定下来。
我们可以概括他讲：已知任何一个物体a，并且已知a　是B　类的一个分
子；我们说凭借这个数据，按照上面所说的概率的定义，a　是A　类的一个分子
的概率是A/B。这个概念是有用的，因为我们常常充分知道某个物体，使得
我们可以唯一确定地给它下出定义，而无需知道它是否具有这种或那种属
性。“美国身材最高的人”是一个确定的描述，这个描述适用于一个并且只
适用于一个人，但是我并不知道他是什么人，因而他是否居住在衣阿华州对
我来说仍然是个未决的问题。“我要抽出的一张牌”是一个确定的描述，并
且我立刻就会知道这个描述是否适用于一张红牌或是一张黑牌，但是现在我
还不知道。正是这种很常见的关于特定物体的部分无知的情况使得在特定的
物体身上应用概率成了有用的东西，而不仅是应用到类中完全没有确定的分
子身上。
虽然部分无知是使上面的概率形式有用的原因，概率这个概354　念却不
包含什么无知，这个概念对于全知来说仍然具有和对于我们来说同样的意
?