斯卢派斯基规则是一条普遍规则,而且避免了传统公式的困难。
为了弄清楚斯卢派斯基规则,让我们更充分地解释这一点。
命题Aac不能从前提Aab或者从前提Abc得出;但当我们联结这些前提成为“Aab并且Abc”时,我们就从Barbara式得到结论Aac。
Eac不能从Ebc得出,也不能从Aab得出;但从这些前提的合取“Ebc并且Aab”用Celarent式,我们就得到结论Eac。
在这两个场合,我们都从前提的合取得到某个新的命题,这些新的命题是前提中的任何孤立的一个所不能得出的。
然而,如果我们有两个否定命题,像Ecb与Eab,当然我们能够从第一个得到结论Ocb而从第二个得到结论Oab,但是从这两个否定命题的合取,除了那些从它们各自孤立地得出的新命题外,不能得出任何新命题。
这就是斯卢派斯基排斥规则的意思:如果γ并不从α或从β得出,它也不能从α与β的合取式得出,因为从两个否定前提不能得出它们孤立地并未得出的任何东西。
斯卢派斯基规则是与传统逻辑的相应规则同样的浅显明白。
现在我将表明这个规则怎样能够应用于排斥不能判定的表达式。
为此目的,我把这规则用在符号的形式中。
用RS(Rule
ofSlupecki)来表示它:RS。PCαγ,PCβγ,→PCαCβγ。
在这里犹如在任何地方一样,我用希腊字母表示满足某些条
…… 161
30。斯卢派斯基的排斥规则A 941
件的变项表达式:这样,α和β必须是三段论系统的简单否定表达式,γ必须是一个象前面说明过的初等表达式,而且三个表达式必须使得Cαγ和Cβγ可以被排斥。
箭头(→)是“所以”的意思。
我想着重指出这个事实,即RS是一个特别的规则,只是对亚里士多德逻辑的否定表达式α和β才是正确的,并且,如我们已经看到的,它不能应用于三段论系统的肯定表达式。
它也不能应用于演绎理论。
这一点可从下面的例子得出:表达式CNCpqr与CNCqpr都不是真的,并且都应当被排斥(如果排斥已引入这个理论之中的话)
,但是CNCpqCCNCqpr却是一个断定命题。
同样,在代数中,从前提“a不小于b”或从前提“b不小于a”都不能得出命题“a等于b”
,但是它从这些前提的合取式中得出。
作为这条新规则的首次应用,我将表明已被作为公理排斥的表达式
P59a。
CKEcbEabIac,现在能被反驳。
这一点来自以下的推导:
9。
pEac,ac,ba×79' ' '79。
CEacIcaCEacIac
79×CP80-P64P80。
CEacIcaP80×P81。
ca,bc,ac' P81。
CEcbIacP64×P82。
bc' P82。
CEabIac
RS。
αEcb,βEab,γIac×P81,P82→P83'
…… 162
051第五章 判定问题
P83。
CEcbCEabIac。
RS规则在这里得到了第一次的应用;α和β是简单否定表达式,而γ也是一个简单表达式。
从P83我们用输出律Ⅶ得出公式P59a:Ⅶ。
pEcb,qEab,rIab×84' ' '84。
CKEcbEabIacCEcbCEabIac
84×CP59a-P83P59a。
CKECBEabIac从以上所述可知斯卢派斯基规则强于我们作为公理排斥的表达式P59a。
由于P59a应被消去,公式59,即CKAcbAabIacP成了剩下的作为公理排斥的唯一的表达式。
其次我将应用RS规则再一次地反驳公式(F3)
:P64×P85。
dc,ca' P85。
CEadIcdP85×P86。
ba' P86。
CEbdIcd
RS。
αEad,βEbd,γIcd×P85,P86→P87' ' ' P87。
CEadCEbdIcdP80×P88。
ba,da' ' P8。
CEbcIcd
RS。
αEbc,βEbd,γIcd×P88,P86→P89' P89。
CEbcCEbdIcd
RS。
αEad,βEbc,γCEbdIcd×P87,P89→P90' P90。
CEadCEbcCEbdIcdP88×P91。
ab'
…… 163
31。演绎的等值式A 151
P91。
CEacIcd
RS。
αEac,βEbd,γIcd×P91,P86→P92' P92。
CEacCEbdIcd
RS。
αEac,βEbc,γCEbdIcd×P92,P89→P93' P93。
CEacCEbcCEbdIcd
RS。
αEac,βEad,γCEbcCEbdIcd×P93,P90'→P94P94。
CEacCEadCEbcCEbdIcdP5×P95,bd' P95。
CEadIcd
RS。
αEab,βEbd,γIcd×P95,P86→P96' P96。
CEabCEbdIcd
RS。
αEab,βEbc,γCEbdIcd×P96,P89→P97' P97。
CEabCEbcCEbdIcd
RS。
αEab,βEad,γCEbcCEbdIcd×P97,P90' ' '→P98P98。
CEabCEadCEbcCEbdIcd
RS。
αEad,βEac,γCEadCEbcCEbdIcd×P98,' ' ' P94→P99P9
CEabCEacCEadCEbcCEbdIcdRS规则在这个推导中用了十次;α和β总是简单否定表达式,而γ在任何地方都是一个初等表达式。
用同样方式,我们能反驳(F4)
形式的其它公式,并且也能反驳第28节的公式(F1)
,然而,没有必要进行这些推导,因为现在我们能够提出一般的判定问题。
…… 164
251第五章 判定问题
31。演绎的等值式A对于我们的判定证明,我们需要演绎的或推论的等值式的概念。
我认为由于对待这个概念有着一些误解,因此,它的意义必须谨慎地定义。
我将在演绎理论的基础上来做到这一点。
通常说有两个表达式α和β,当其如果α被断定了,就可以从α推导出β,反之,如果β被断定了,就可以从β推导出α,我们就说α与β是彼此演绎地等值的。
推论的各种规则总假定为已给定的,但它们很少是充分的。
例如,它们在下面的例子中是充分的。
从断定的交换律CCpCqrCqCpr,我们能推导出断定命题CqCpCqrCpr:(1)CCpCqrCqCpr(1)pCpCqr,rCpr×C(1)—(2)
'(2)CqCpcqrCpr,从这个断定命题我们能够再推导出交换律:(2)
qCqCpCqrCpr,ps,rt×C(2)—(3)
'(3)CCsCqCpCqrCprtCst(2)qCpCqr,pq,TCpr×(4)
' ' '(4)CCpCqrCqCpCqrCprCqCpr(3)sCpCqr,tC
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