' ' '(4)CCpCqrCqCpCqrCprCqCpr(3)sCpCqr,tCqCpr×C(4)—(1)
'(1)CCpCqrCqCpr①
但是我们不能用这个简单方法从断定的表达式CNpCpq推
①① 这个简洁的推导是A塔尔斯基在华沙提出的。
W
…… 165
31。演绎的等值式A 351
导出邓斯司各脱定律CpCNpq,因为我们只能用代入规则从W第一个表达式推出新命题,而所有的CNpCpq的代入都是以CN开头的,没有一个是用Cp开头。
要从另外一个表达式推导出那些表达式中的一个来,我们必须要有进一步的支持。
一般地说,演绎等值式的关系少有是绝对的,而在大多数场合,它是与一些断定命题的某一个基础相关的。
在我们的场合,这个基础就是交换律。
从(5)CNpCpq开始,我们用交换律得到邓斯司各脱定律:W(1)pNp,qp,rq×C(5)—(6)
'(6)CpCNpq,并且从(6)开始,我们又用交换律再得到(5)
:(1)qNp,rq×C(6)—(5)
'(5)CNpCpq。
所以我说CNpCpq与CpCNpq就交换律而言是演绎地等值的,并且我写作:
CNpCpq~CpCNpq对(1)而言。
记号~表示演绎的等值式的关系。
这个关系不同于通常的等值关系(此处用Q表示)。
通常的等值关系是用两个彼此互相换位的蕴涵式的合取式来定义的,
Qpq=KCpqCqp,而不需要任何基础。
如果一个通常的等值关系Qαβ被断定了,并且α或α的一个替代者也被断定了,那么,我们就能断定β,或β的相应的替代者,并且,反之亦然。
所以,一个断定的通常的等值式Qαβ对于演绎的等值式α~β是一个充分
…… 166
451第五章 判定问题
的基础;但是它并非是必要的基础,这恰好就是需要说明之点。
不仅断定的或真的表达式而且假的表达式都可以是演绎地等值的。
为了解决对于C—N系统的判定问题,我们必须把一个任意的有意义的表达式α变形为表达式CNαπ,π是一个不在α中出现的命题变项。
这可以借助于两条断定命题做到:S1。
CpCNpqS2。
CNp。
我说对S1与S2而言,α与CNαπ是演绎地等值的,并且我写作:Ⅰ。
α~CNαπ对S1与S2而言。
当α被断定时,一切都容易进行。
以NNCpp为例。
这是一个容易由0—1方法确证的断定命题。
根据公式I我陈述:
NCp~CNCpq对S1与S2而言。
从(7)NNCp开始,我们用S1得到:
S1。
pNNCp×C(7)—(8)
'(8)CNCpq,并且从(8)开始,我们用代入和S2得到:(8)qNNCp×(9)
'(9)CNCpNCp
S2。
pNNCp×C(9)—(7)
'(7)。
NCp。
但α是一个任意的表达式;它可以是假的,例如Cpq。
在这个
…… 167
31。演绎的等值式A 551
场合公式Ⅰ读作:Cpq~CNCpqr对S1与S2而言在这里,困难开始了:我们能从S1用代入pCpq,qr,得到' '断定命题CCpqCNCpqr,但我们不能从这个断定命题引出后件CNCpqr,因为Cpq不是一个断定命题并且不能加以断定。
所以CNCpqr不能被分离出来。
还有一个更大的困难在另一个方向出现:我们能够从S2用代入pCpq得到断定命题CC' CNCpqCpqCpq,但CNCpqCpq没有被断定,我们也不能从CNCpqr用代入得到CNCpqCpq,因为CNCpqr不是一个断定命题。
我们不能说:假定Cpq被断定了,那么,就会得出CNCpqr。
断定一个假的表达式是一个错误。
而我们不能希望用一个错误来证明任何东西。
因此公式Ⅰ看来不是对所有的表达式而只是对那些被断定的表达式才是正确的。
照我看,只有一个办法来避免这些困难:那就是把排斥引入演绎理论。
我们作为公理排斥变项p,并且承认清楚的排斥规则(c)和(d)。
在这个基础上就能够容易地表明Cpq必定被排斥。
因为我们从公理(P10)p以及断定命题(1)CCp用排斥规则可得:(1)×C(P12)—(P10)
(P12)CCp(P12)×(P13)pCp,qp'(P13)Cpq。
…… 168
651第五章 判定问题
现在我们能够证明如果Cpq被排斥,CNCpqr必定也被排斥;以及相反地,如果CNCpqr被排斥,Cpq必定也被排斥。
从(P13)Cpq开始,我们用S2及排斥规则得到:
S2。
pCpq×(14)
'(14)CCNCpqCpqCpq(14)×C(P15)—(P13)
(P15)CNCpqCpq(P15)×(P16)
rCpq'(P16)CNCpqr。
在另一方向从(P16)用S1我们容易地得到Cpq:
S1。
pCpq,qr×(17)
'(17)CCpqCNCpqr(17)×C(P13)—(P16)
(P13)Cpq。
公式Ⅰ现在已充分地被证明了。
然而,我们必须校正我们前面的演绎等值式的定义,说成:两个表达式就某些断定命题而言是演绎地互相等值的,当且仅当我们能够用这些断定命题和推论规则来证明:如果那些表达式之一被断定,另一个必定也被断定,或者如果它们中的一个被排斥,其它一个必定也被排斥。
从这个定义可知通常的等值式不是演绎等值式的一个必要的基础。
如果Qαβ是一个断定命题,对于Qαβ而言,α是演绎地等值于β这是真的;但是如果对于某些断定命题而言α
…… 169
32。化归为初等表达式A 751
是演绎地等值于β,那么Qαβ是一个断定命题就并不总是真的了。
以刚才考虑的演绎等值式为例:
Cpq~CNCpqr对S1与S2而言。
其相应的通常的等值式QCpqCNCpqr不是一个断定命题,因为它对于p1,q0,r1来说乃是假的。
'很明显,演绎等值的关系是自返的,对称的和传递的。
有这种情况,对于某些断定命题而言,α是演绎地等值于两个表达式β并且γ。
那就是说:如果α被断定,则β被断定并且γ被断定,并从而它们的合取式“β并且γ”被断定;而反之,如果β和γ两者,或它们的合取式“β并且γ”被断定了,那么α也被断定。
再有,如果α被排斥,则合取式“β并且γ”必定被排斥,而且在这个场合,只要β和γ两者之一应被排斥就足够了,而反之,如果它们中有一个被排斥,α必定也被排斥。
32。化归为初等表达式A我们的判定的证明是基于以下定理:(TA)亚里士多德三段论系统的每一个有意义的表达式都能够用一个演绎地等值的方法(对于演绎理论的断定命题而言)
化归为一组初等表达式,亦即具有形式
Cα1Cα2Cα3…
Cαn1CαnC的表达式,其中所有α都是三段论系统的简单表达式,亦即Aab,Iab,Eab,和Oab类型的表达式。
所有已知三段论系统的断定命题或者是初等表达式或者
…… 170
851第
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