所有已知三段论系统的断定命题或者是初等表达式或者
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851第五章 判定问题
能够容易地被变形为初等表达式。
换位定律,如CIabIba或CAabIba,都是初等表达式。
所有三段论都是CKαβγ形式,而这类表达式都是演绎地等值于CαCβγ形式的初等表达式(对于输出和输入定律而言)。
但是还有三段论系统的其它有意义的表达式,有些是真的,有些是假的,却并不是初等表达式。
我们已经碰到过这样一个表达式,即是断定命题78,CCCNAabAbaIab,它的前件不是一个简单表达式,而是一个蕴涵式。
当然,有无穷的这样的表达式,并且它们全都应当在判定的证明中加以考虑。
定理(TA)在演绎理论的一个类似的定理(TB)的基础上能够容易地被证明:(TB)每一个以C和N为原始词项的演绎理论的有意义的表达式,都能够用一个演绎地等值的方法(对于有穷数的断定命题而言)化归为一组
Cα1Cα2Cα3…
Cαn1CαnC形式的初等表达式,其中所有α都是简单表达式,亦即或者是变项或者是它们的否定式。
这个定理的证明是不容易的,但是,由于它对于判定问题来说乃是精华所在,所以不能加以省略。
下面所作的(TB)
的证明是为对形式逻辑有兴趣的读者提出的;没有受过数理逻辑训练的读者可以把(TA)
,(TB)
两条定理当作是认可的东西。
令α是演绎理论的任意的一个有意义的表达式,并且它不同于变项(它可以,但是并不需要,加以变形)
:如我们所知,每一个这样的表达式,都能够用演绎地等值的方法,对
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32。化归为初等表达式A 951
于断定命题S1与S2而言:S1。
CpCNpqS2。
CNp变形为表达式CNαπ,其中π是一个不在α中出现的变项。
因此,我们有变形Ⅰ:Ⅰ。
α~CNαπ对于S1与S2而言。
变形Ⅰ允许我们把所有有意义的表达式化归为蕴涵式(有一个变项作为它们的最后的词项)。
现在我们必须试着将CNαπ的前件Nα变为一个变项或它的否定。
为此目的,我使用以下三项变形:Ⅱ。
CNαβ~Cαβ对于S3与S4而言Ⅲ。
CNCαβγ~CαCNβγ对于S5与S6而言Ⅳ。
Cαβγ~CNαγ,Cβγ对于S7,S8,S9而言相关的断定命题是:对于变形Ⅱ:S3。
CNpqCpqS4。
CpqCNpq;对于变形Ⅲ:S5。
CNCpqrCpCNqrS6。
CpCNqrCNCpqr;对于变形Ⅳ:S7。
CpqrCNprS8。
CpqrCqrS9。
CNprCqrCpqr。
现在让我们解释用这些变形我们怎样能够从CNαπ的前件中得到一个变项或它的否定式。
在CNαπ中出现的表达式
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061第五章 判定问题
α,像C—N系统的每一个有意义的表达式一样可以或者是一个变项,或者是一个否定式,或者是一个蕴涵式。
如果α是一个变项,就不需要任何变形;如果它是一个否定式,我们得到CNαβ,而根据变形Ⅱ,两个否定互相抵消;如果它是一个蕴涵式,我们从CNCαβγ得到等值的表达式CαCNβγ,它的前件α比原来的前件NCαβ简单,这个新的α又可以是一个变项(因而也勿需变形)
,或是一个否定式(这个情况已经解决过了)
,或是一个蕴涵式。
在最后这个情况中,我们从CCαβγ得到两个表达式CNαγ和Cβγ,它们有着比原前件Cαβ简单一些的前件。
Ⅱ,Ⅲ和Ⅳ的重复地应用,我们必定最后地在一个前件中达到一个变项或它的否定式。
现在让我们用例子来看一看这些变形是如何工作的。
第一个例子:NCpNCp~CNCpq由Ⅰ;CNCpq~CNCpq由Ⅱ;CNCpq~CpCNpq由Ⅲ。
NCp就这样化归为表达式CpCNpq,它在前件中有变项p。
CpCNpq是一个初等表达式。
第二个例子:CpqpCpqp~CNCpqpr由Ⅰ;CNCpqpr~CpqpCNpr由Ⅲ;CpqpCNpr~CNCpqCNpr,CpCNpr由ⅣCNCpqCNpr~CpCNqCNpr由Ⅲ。
Cpqpp就这样化归为两个表达式:CpCNqCNpr与CpCNCpr,两者在前件中都有变项p;两者都是初等表达式。
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32。化归为初等表达式A 161
第三个例子:CpqpCpqpCpqpCqp~CNCpqCqpr由Ⅰ;CNCpqCqpr~CpqCNCqpr由Ⅲ;CpqCNCqpr~CNCpqCNCqpr,CqCNCqpr由Ⅳ;CNCpqCNCqpr~CpCNqCNCqpr由Ⅲ。
CpqCqpp化归为两个表达式CpCNqCNCqpr以及CqCNCqpr,两者都在第一个前件中有一个变项。
但是两者都不是初等表达式,因为第一个有着复杂的表达式NCqp作为它的第三个前件,而第二个有着同样的复杂的表达式作为它的第二个前件。
我们能从最后的例子中看到,我们的任务还没有完成。
用变形Ⅰ—Ⅳ我们能得到在第一个前件中有一个变项的蕴涵式,以及还有
Cα1Cα2Cα3…
Cαn1CαnC形式的表达式,但并非这个形式的所有前件(除α1之外)都必定是简单表达式。
为了解除这样的复杂前件,我们需要三个进一步的变形:Ⅴ。
CαCβγ~CβCαγ对于S10而言Ⅵ。
CαCβCγδ~CαCγCβδ对于S1而言Ⅶ。
CαCβγ~CNCαNβγ对于S12与S13而言相应的断定命题是:对变形Ⅴ:S10。
CpCqrCqCpr;对变形Ⅵ:S1。
CpCqCrsCpCrCqs;
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261第五章 判定问题
对变形Ⅶ:S12。
CpCqrCNCpNqr。
S13。
CNCpNqrCpCqr。
用S10我们能把复杂的前件从第二个位置移到第一个位置,而用S1能从第三个位置移到第二个位置。
应用这些变形于第三个例子的表达式CpCNqCNCqpr与CqCNCqpr我们得到:(α)CpCNqCNCqpr~CpCNCqpCNqr由Ⅵ;CpCNCqpCNqr~CNCqpCpCNqr由Ⅴ;CNCqpCpCNqr~CqpCNpCpCNqr由Ⅲ;CqpCNpCqCNqr~CNqCNpCpCNqr,CpCNpCpCNqr由Ⅳ。
(β)CqCNCqpr~CNCqpCqr由Ⅴ;CNCqpCqr~CqpCNpCqr由Ⅲ;CqpCNpCqr~CNqCNpCqr,CpCNpCqr由Ⅳ。
这样CCpqCqpp化归为四个初等表达式:CNqCNpCpCCNqr,CpCNpCpCNqr,CNqCNpCqr与CpCNpCqr。
变形Ⅶ用于复杂前件出现在第四个位置或者更远的地方的所有那些情况。
这个变形允许我们减少前件的数目;事实上,NCpNq与Kpq的意思是一样的,并且S12与S13相应地都是输入定律与输出定律的另外的形式。
现在CNCαNβγ,像CKαβγ一样,只有一个前件,而其等值的表达式CαCβγ有两个前件。
所以,如果一个复杂的表达式出现于第四个位置,如δ在CαCβCγCδ∈中那样,我们相继应用Ⅶ和Ⅵ能够把它移至
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